Iloczyn wektorowy

Definicja 1: Iloczyn wektorowy

Iloczynem wektorowym wektorów \( \overrightarrow{v}=\left( v_{x},v_{y},v_{z}\right)\in\mathbb{R}^{3} \) oraz \( \overrightarrow{w}=\left(w_{x},w_{y},w_{z}\right)\in\mathbb{R}^{3} \) nazywamy wektor \( \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w} \) określony wzorem

(1)

\( \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}:=\left( v_{y}w_{z}-v_{z}w_{y},v_{z}w_{x}-v_{x}w_{z},v_{x}w_{y}-v_{y}w_{x}\right). \)

Wzór ( 1 ) można wyrazić równoważnie w łatwej do zapamiętania postaci symbolicznego wyznacznika

\( \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}=\left \vert \begin{matrix}\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\v_{x} & v_{y} & v_{z}\\w_{x} & w_{y} & w_{z}\end{matrix} \right \vert , \)

gdzie \( \overrightarrow{i}=\left( 1,0,0\right) \), \( \overrightarrow{j}=\left(0,1,0\right) \), \( \overrightarrow{k}=\left( 0,0,1\right) \).

Przykład 1: Wyznaczanie iloczynu wektorowego

Dla wektorów \( \overrightarrow{v}=\left( 1,0,-2\right) \) oraz \( \overrightarrow{w}=\left( -1,1,1\right) \) mamy
\( \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}=\left\vert \begin{matrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\1 & 0 & -2\\-1 & 1 & 1 \end{matrix} \right \vert =2\cdot \overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}=2\cdot(1,0,0)+(0,1,0)+(0,0,1)=\left(2,1,1\right) . \)

Twierdzenie 1: Własności iloczynu wektorowego

Iloczyn wektorowy spełnia następujące warunki:

dla \( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\in\mathbb{R}^{3} \):

\( \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}=-\overrightarrow{w}\times\overrightarrow{v}; \)

dla \( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w_{1}},\overrightarrow{w_{2}}\in\mathbb{R}^{3} \):

\( \overrightarrow{v}\times\left( \overrightarrow{w_{1}}+\overrightarrow{w_{2}}\right) =\left( \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w_{1}}\right) +\left( \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w_{2}}\right); \)

dla \( \overrightarrow{v}\in\mathbb{R}^{3} \):

\( \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}; \)

dla \( \alpha\in\mathbb{R}, \) \( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\in\mathbb{R}^{3} \):

\( \alpha\cdot\left( \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}\right) =\left( \alpha\cdot\overrightarrow{v}\right) \times\overrightarrow {w}=\overrightarrow{v}\times\left(\alpha\cdot\overrightarrow{w}\right); \)

dla \( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\in\mathbb{R}^{3} \):

\( \left(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}\right)\perp\overrightarrow{v}\text{ oraz }\left(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}\right)\perp\overrightarrow{w}. \)

Twierdzenie 2:

Niech \( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\in\mathbb{R}^{3} \) będą dowolnymi wektorami. Wówczas

(2)

\( \left\Vert \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}\right\Vert =\left \Vert \overrightarrow{v}\right\Vert \cdot\left\Vert \overrightarrow{w}\right\Vert\cdot\sin\measuredangle ( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w} ), \)

gdzie \( \measuredangle (\overrightarrow{v},\overrightarrow{w} )\in\lbrack 0,\pi\rbrack \) to miara kąta między wektorami \( \overrightarrow{v} \) i \( \overrightarrow{w} \).

Z powyższego twierdzenia wynika następujący wniosek.

Wniosek 1:

Iloczyn wektorowy wektorów \( \overrightarrow{v} \) i \( \overrightarrow{w} \) jest wektorem o długości równej polu równoległoboku rozpiętego przez wektory \( \overrightarrow{v} \) i \( \overrightarrow{w} \) (zob. Rys. 1 ).

Rysunek 1: Iloczyn wektorowy pary wektorów.

Wniosek 2: Warunek równoległości wektorów

Ze wzoru ( 2 ) wynika następująca zależność:

\( \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \lbrack \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}\text{ lub }\overrightarrow{w}=\overrightarrow{0}\text{ lub }\overrightarrow{v}\parallel\overrightarrow{w} \rbrack ; \)

warunek \( \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}=\overrightarrow{0} \) jest więc warunkiem równoległości niezerowych wektorów \( \overrightarrow{v} \) i \( \overrightarrow{w} \).

Przykład 2: Wyznaczanie pola trójkąta

Rozważmy trzy punkty \( A(0,1,0) \), \( B\left( 1,0,1\right) \), \( C\left(1,1,1\right) \). Punkty te są wierzchołkami pewnego trójkąta. Obliczymy jego pole.

Zauważmy, że dwoma bokami trójkąta o wierzchołkach \( A,B,C \) są odcinki o długościach równych długościom wektorów \( \overrightarrow{AB} \) oraz \( \overrightarrow{AC} \). Pole \( P \) tego trójkąta wyraża się więc wzorem

\( P=\frac{1}{2}\cdot\left\Vert \overrightarrow{AB}\right\Vert \cdot\left\Vert\overrightarrow{AC}\right\Vert \cdot \sin\measuredangle ( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ) =\frac{1}{2}\cdot\left\Vert \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right\Vert . \)

Ponieważ \( \overrightarrow{AB}=\left( 1,-1,1\right) \) oraz \( \overrightarrow{AC}=\left( 1,0,1\right) \) zatem

\( \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\left \vert \begin{matrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\1 & -1 & 1\\1 & 0 & 1\end{matrix}\right \vert =-\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}=\left( -1,0,1\right) . \)

Stąd

\( \left\Vert \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right\Vert =\left\Vert\left( -1,0,1\right) \right\Vert =\sqrt{2} \)

i ostatecznie \( P=\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Układ współrzędnych

Kartezjańskim układem współrzędnych w przestrzeni \( \mathbb{R}^{3} \) nazywamy trzy ustalone wzajemnie prostopadłe proste przecinające się w jednym punkcie nazywanym początkiem układu współrzędnych. Zwyczajowo proste te oznacza się \( Ox \), \( Oy \) oraz \( Oz \) i nazywa się osiami układu współrzędnych \( Oxyz \). Jako początek układu współrzędnych \( Oxyz \) zwykle przyjmuje się punkt \( (0,0,0) \).

Orientacja układu współrzędnych

W układzie współrzędnych \( Oxyz \) można wprowadzić dwie orientacje: orientację dodatnią (układ prawoskrętny) oraz ujemną (układ lewoskrętny). Orientacja układu zależy od wzajemnego położenia osi układu \( Ox \), \( Oy \) oraz \( Oz \). Jeżeli wyprostowany kciuk prawej ręki umieścimy w ten sposób, aby wskazywał dodatnią część osi \( Oz \), a zgięte palce wskażą kierunek obrotu od osi \( Ox \) do osi \( Oy \) (odpowiednio: od osi \( Oy \) do osi \( Ox \) to wówczas mamy do czynienia z układem prawoskrętnym (lewoskrętnym).

Rysunek 2: Układ współrzędnych: a) zorientowany dodatnio, b) zorientowany ujemnie.

Orientacja wektorów \( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v} \)

Iloczyn wektorowy dwóch niezerowych, nierównoległych wektorów \( \overrightarrow{u} \) oraz \( \overrightarrow{v} \) ma tę własność, że uporządkowana (istotna kolejność) trójka wektorów \( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v} \) ma orientację dodatnią, tzn. jeżeli ułożymy prawą dłoń w ten sposób, aby zgięte palce wskazywały kierunek obrotu od wektora \( \overrightarrow{u} \) do wektora \( \overrightarrow{v} \), to wyprostowany kciuk wskaże kierunek oraz zwrot wektora \( \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v} \) (zob. Rys. 3 ).

Rysunek 3: Dodatnia orientacja trójki wektorów.

Temat:
Opis:
Typ:

Email: